1. Cálculo de Pi desde el siglo XIX hasta el uso de computadoras


A continuación se repasa la historia reciente del cálculo del número Pi en orden cronológico, partiendo de principios del siglo XIX hasta nuestros días. Se describe la evolución en cifras decimales desde 140 en 1789 hasta el último record de 5 billones con fecha agosto de 2010.

  • 1789- El matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706:
Machin.png

  • fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años.

  • 1841- William Rutherford, matemático inglés, calculó 208 decimales de los cuales 152 eran correctos.

  • 1844- Zacharias Dase y Strassnitzky calcularon 205 cifras de las cuales 200 correctas, se cree que Dase hizo todos los cálculo mentalmente.

  • 1853- William Rutherford volvió a calcular 440 decimales.

  • 1874- William Shanks, alumno de Rutherford, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de Pi, pero 1945 D.F. Ferguson descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de este todos los demás eran incorrectos.

  • 1882- Ferdinand Lindemann (1852-1939) demostró que Pi es un número trascendental (número que no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales). Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Este problema consiste en calcular la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a la de un círculo dado. Pese a ello todavía se sigue intentando.

  • 1947- D.F. Ferguson recalculó π con 808 decimales con la ayuda de una calculadora de mesa, antes en en 1946 había encontrado un error en el cálculo de Shanks, como ya hemos comentado.




2. Cálculo de Pi usando computadoras hasta nuestros días.


A partir de la invención de la computadora la carrera por el cálculo de decimales de pi se convirtió en una forma de medir la potencia de la máquina.

eniac.jpg
Computadora ENIAC

  • 1949- G.W. Reitweisner siguiendo una sugerencia de Von Neumann usando uno de los primeros ordenadores el ENIAC (18 toneladas de peso), trabajando durante 70 horas, determinó Pi con 2037 decimales. A partir de esta fecha empieza la era del cálculo con ordenador electrónico.

  • 1958- François Genuys utiliza un IBM 704 para alcanzar los 10.000 decimales en 100 minutos, tanto para su caso como para el Reitweisner se empleó la fórmula de Machin.

  • 1961- Daniell Shanks (sin relación con William Shanks) y Wrench, obtuvieron en 8 horas 23 minutos, 100.265 cifras en un IBM 7090.

  • 1966- M.J. Guilloud y J. Filliatre con un IBM 7030 llegaron a 250.000 cifras decimales en 8 h y 23 min.

  • 1967- Guilloud y M. Dichampt alcanzan los 500.000 sobre un CDC 6600.

  • 1973- Guilloud y M. Bouyer alcanzan 1.001.250 decimales sobre un CDC 7600 en 22 horas y 11 minutos, más 1 hora y 7 minutos para pasar el resultado a decimal. En los tres casos anteriores se utilizaron las fórmulas de Gauss y Störmer, una para hacer el primer cálculo y la otra para comprobarlo. Las fórmulas son las siguientes:
Gauss.png

  • 1983- Yoshiaki Tamura y Yasumasa Kanada, en menos de 30 h, en un Hitac M-280 H obtuvieron 16.777.206 cifras. Se siguieron utilizando fórmula
    del arco tangente en sus diversas variantes hasta la mitad de la década de los 80. Pero ya se dejaba ver que estas fórmulas no eran suficientes para alcanzar cantidades mucho más grandes, tales como 1.000.000.000 de cifras. Se estimó que un ordenador necesitaría más de 25 años de cálculo ininterrumpido para llegar a tales metas.
  • 1985- Bill Gosper usa la serie descubierta por Ramanujan en 1914:

ramanujan.png
para conseguir 17.526.200 decimales. La principal característica de esta serie es que cada término sumado añade 8 decimales exactos al valor calculado.

  • 1986- David H.Bailey calcula 29.360.111 decimales sobre un Cray-2 con algoritmos de convergencia cuadrática.

  • 1988- Kanada y Tamura calculan 201.326.000 decimales sobre un Hitachi S-820 en 6 horas, utilizando el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin). Sólo necesitaron 28 iteraciones para obtener el resultado. Este es el algoritmo:

Gauss-Legendre.png

brothers-chudnovsky.jpg
Hermanos Chudnovsky

  • 1994- Los hermanos Chudnovsky siguiendo la línea de Ramanujan encuentran la siguiente fórmula:

Chudnovsky.png

con ella consiguieron la marca de 4.044.000.000 de decimales utilizando un ordenador de fabricación propia.

  • 1997- Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras , utilizando un Hitachi SR2201 con 1024 procesadores.

  • 1999- Kanada y Takahashi consiguen 206.158.430.000 decimales. Hacen dos cálculos independientes. El programa principal utiliza el algoritmo de Gauss-Legendre (Brent-Salamin) y tarda un total de 37h 21m 04s. El programa de verificación utiliza el algoritmo de convergencia de cuarto orden de Borwein y tarda un total de 46h 07m 10s. El ordenador es un Hitachi SR8000 de la Universidad de Tokio, con 128 microprocesadores y una memoria principal superior a 800 GB. La velocidad de proceso para cada uno de los microprocesadores puede alcanzar los 8 gigaflops (8*10^9 operaciones de coma flotante por segundo).

  • 2009- Daisuke Takahashi halló más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops (95*10^12). Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos.
  • 2010- En agosto Alexander Yee y Shigeru Kondo establecieron el nuevo récord mundial con 5 billones de cifras (5*10^12). La máquina, un ordenador personal con una configuración de alto rendimiento, tardó 90 días en calcularlo. Usaron una fórmula casi idéntica a la de los hermanos Chudnovsky:
form_rec.png
  • para comprobar el resultado usaron:

comp_rec.png

  • En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords. En cuanto a utilizar continuamente los ordenadores para establecer Pi con gran exactitud, ha llegado hasta el punto en el que los científicos informáticos ya no están interesados en competir para obtener un mayor número de decimales, en su lugar lo hacen para probar sus ordenadores.

  • Para hacernos una idea de lo que ocuparía el número Pi con 1 billón de decimales en el siguiente enlace se encuentran 10.000 archivos de texto de 57 MB cada que uno. El conjunto de los archivos es ocupa 556 GB.

trillonpi.png
Página con los ficheros del número Pi con 1 billón de cifras






3. Cuadro resumen del cálculo de cifras decimales

Año
Descubridor
Ordenador utilizado (tiempo cálculo)
Número de cifras decimales
1949
G.W. Reitwiesner
ENIAC (70h)
2.037
1954
S.C.Nicholson y J.Jeenel
NORAC (13min)
3.092
1959
Francois Genuys
IBM 704 (4h20min)
16.167
1961
Daniel Shanks y John Wrench
IBM 7090 (8h23min)
100.265
1966
M.J. Guilloud y J. Filliatre
IBM 7030 (41h55min)
250.000
1967
Jean Guillord y M.Dichampt
CDC 6600 (28h)
500.000
1973
Guillord y Bouyer
CDC 7600 (23h18min)
1.001.250
1981
Miyoshi y Kanada
FACOM M-200
2.000.036
1982
Jean Guilloud
No se conoce
2.000.050
1983
Y.Tamura y Y.Kanata
Hitac M-280 H (30h)
16.777.206
1985
Bill Gosper
Symbolics 3670
17.526.200
1986
David H.Bailey
CRAY-2
29.360.111
1986
Y.Tamura y Y.Kanata
HITAC S-810/20
67.108.839
1987
Y.Kanada, Y.Tamura, Y.Kobo
NEC SX-2
134.217.700
1988
Y.Tamura y Y.Kanata
Hitachi S-820 (6h)
201.326.000
1989
Hermanos Chudnovsky
CRAY-2 y IBM-3090/VF
480.000.000
1989
Hermanos Chudnovsky
IBM 3090
1.011.196.691
1991
Hermanos Chudnovsky
PC de fabricación propia
2.260.000.000
1994
Hermanos Chudnovsky
PC de fabricación propia
4.044.000.000
1995
Y.Kanada y D.Takahashi
HITAC S-3800/480
6.442.450.000
1997
Y.Kanada y D.Takahashi
Hitachi SR2201
51.539.600.000
1999
Y.Kanada y D.Takahashi
Hitachi SR8000
68.719.470.000
1999
Y.Kanada y D.Takahashi
Hitachi SR8000 (37h21min)
206.158.430.000
2002
Kanada y otros
Hitachi SR8000/MP (600h)
1.241.100.000.000
2009
Daisuke Takahashi
T2K Tsukuba System (73h36min)
2.576.980.370.000
2009
Fabrice Bellard
Core i7 CPU, 2.93 GHz; 6GB RAM
2.699.999.990.000
2010
Alexander Yee y Shigeru Kondo
Intel Xeon X5680 3.33GHz; 96GB RAM
5.000.000.000.000


4. Gráfica con el número de cifras de Pi a lo largo del tiempo



graficabarrasPI.png


Al estar en escala logarítmica la cantidad de cifras se expresa en número de cifras decimales, por ejemplo 1.000.000 sería 6 en la gráfica.




5. Récord actual de cálculo de Pi


El día 6 de Agosto de 2010 el sitio web CHW se publicó la noticia que del record mundial de cifras decimales de Pi, calcularon 5.000.000.000.000.

¿Por qué alguien querría calcular PI hasta los 5 billones de dígitos? simplemente ¡porque se puede! y porque la morbosidad de ver tremenda plataforma realizando aquellos cálculos es mayor, aunque lo más increíble de todo y para sorpresa de muchos, el record mundial se lo lleva una máquina que no está en un laboratorio ultra secreto de la NASA, se trata de un configuración high-end que cualquiera de nosotros – y con suficiente dinero – podría armar.
Los japoneses, Alexander Yee y Shigeru Kondo anunciaron el día de ayer ser los dueños del record mundial de cálculo de PI, alcanzando los 5 billones, lo que equivale a 6 terabytes de datos. Para lograrlo, Kondo armó un PC avaluado en más de 13.600 €, mientras Yee y un estudiante americano de Ingeniería Informática se encargaron de proveer el software: Una aplicación de calculo multi-hilo y un programa llamado y-cruncher.
Pero vamos a lo que muchos estaban esperando, la configuración:
  • 2010.jpg
    Shigeru Kondo
    Dos procesadores Intel Xeon X5680 3.33GHz (12 núcleos físicos, 24 por hyperthread)
  • 96 GB de memoria DDR3 1066 MHz (12 x 8GB – 6 canales)
  • Placa ASUS Z8PE-D12
  • Discos duros: 1TB SATA II (arranque), 3 x 2TB SATA II (almacenamiento de cálculos), 16 x 2TB SATA II (computación)
  • Dos controladores RAID LSI MegaRaid SAS 9260-8i
  • Sistema operativo Windows Server 2008 R2 Enterprise x64
Comenzó a calcular PI un 4 de Mayo a las 18:19 horas, para terminar con 5 billones de dígitos el 3 de Agosto a la 01:21 de la mañana, en resumen, a la máquina le tomó 90 días para terminar su tarea. Los últimos dígitos obtenidos fueron: 9484283852

record2010.jpg
PC récord